Komplexe Integrale

Dieser Artikel schließt das Thema der unbestimmten Integrale ab und enthält Integrale, die ich recht komplex finde. Die Lektion wurde auf wiederholten Wunsch von Besuchern erstellt, die den Wunsch geäußert hatten, dass schwierigere Beispiele auf der Website analysiert würden.

Es wird davon ausgegangen, dass der Leser dieses Textes gut vorbereitet ist und grundlegende Integrationstechniken anwenden kann. Dummies und Leute, die sich mit Integralen nicht so sicher auskennen, sollten sich auf die allererste Lektion beziehen – Unbestimmtes Integral. Beispiele für Lösungen, wo Sie das Thema fast von Grund auf beherrschen können. Erfahrenere Studierende können sich mit Techniken und Methoden der Integration vertraut machen, die in meinen Artikeln noch nicht begegnet sind.

Welche Integrale werden berücksichtigt?

Zunächst betrachten wir Integrale mit Wurzeln, zu deren Lösung wir nacheinander verwenden Variablenersatz Und Integration in Teilstücken. Das heißt, in einem Beispiel werden zwei Techniken gleichzeitig kombiniert. Und noch mehr.

Dann lernen wir Interessantes und Originelles kennen Methode, das Integral auf sich selbst zu reduzieren. Auf diese Weise werden zahlreiche Integrale gelöst.

In der dritten Ausgabe des Programms geht es um Integrale komplexer Brüche, die in früheren Artikeln an der Kasse vorbeiflogen.

Viertens werden zusätzliche Integrale aus trigonometrischen Funktionen analysiert. Insbesondere gibt es Methoden, die eine zeitaufwändige universelle trigonometrische Substitution vermeiden.

(2) In der Integrandenfunktion dividieren wir Term für Term den Zähler durch den Nenner.

(3) Wir nutzen die Linearitätseigenschaft des unbestimmten Integrals. Im letzten Integral sofort Setzen Sie die Funktion unter das Differentialzeichen.

(4) Wir nehmen die restlichen Integrale. Beachten Sie, dass Sie in einem Logarithmus Klammern anstelle eines Moduls verwenden können, da .

(5) Wir führen eine umgekehrte Ersetzung durch, indem wir „te“ aus der direkten Ersetzung ausdrücken:

Masochistische Schüler können die Antwort differenzieren und erhalten den ursprünglichen Integranden, wie ich es gerade getan habe. Nein, nein, ich habe die Prüfung im richtigen Sinne durchgeführt =)

Wie Sie sehen, mussten wir während der Lösung sogar mehr als zwei Lösungsmethoden verwenden, sodass für den Umgang mit solchen Integralen sichere Integrationsfähigkeiten und einiges an Erfahrung erforderlich sind.

In der Praxis ist die Quadratwurzel natürlich häufiger anzutreffen; hier drei Beispiele, wie man sie selbst lösen kann:

Beispiel 2

Finden Sie das unbestimmte Integral

Beispiel 3

Finden Sie das unbestimmte Integral

Beispiel 4

Finden Sie das unbestimmte Integral

Diese Beispiele sind vom gleichen Typ, daher bezieht sich die vollständige Lösung am Ende des Artikels nur auf Beispiel 2; die Beispiele 3–4 haben die gleichen Antworten. Welcher Ersatz zu Beginn von Entscheidungen verwendet werden soll, liegt meiner Meinung nach auf der Hand. Warum habe ich Beispiele des gleichen Typs ausgewählt? Oft in ihrer Rolle anzutreffen. Vielleicht öfter, nur so etwas wie .

Aber nicht immer, wenn es unter den Arkustangens-, Sinus-, Kosinus-, Exponential- und anderen Funktionen eine Wurzel gibt lineare Funktion, müssen Sie mehrere Methoden gleichzeitig anwenden. In einer Reihe von Fällen ist es möglich, „einfach davonzukommen“, das heißt, man erhält unmittelbar nach der Ersetzung ein einfaches Integral, das auf elementare Weise genommen werden kann. Die einfachste der oben vorgeschlagenen Aufgaben ist Beispiel 4, bei dem nach dem Ersetzen ein relativ einfaches Integral erhalten wird.

Indem man das Integral auf sich selbst reduziert

Eine witzige und schöne Methode. Werfen wir einen Blick auf die Klassiker des Genres:

Beispiel 5

Finden Sie das unbestimmte Integral

Unter der Wurzel befindet sich ein quadratisches Binomial und beim Versuch einer Integration dieses Beispiel Der Wasserkocher kann stundenlang leiden. Ein solches Integral wird in Teile zerlegt und auf sich selbst reduziert. Im Prinzip ist es nicht schwierig. Wenn Sie wissen wie.

Bezeichnen wir das betrachtete Integral mit einem lateinischen Buchstaben und beginnen wir mit der Lösung:

Lassen Sie uns nach Teilen integrieren:

(1) Bereiten Sie die Integrandenfunktion für die Term-für-Term-Division vor.

(2) Wir dividieren die Integrandenfunktion Term für Term. Es ist vielleicht nicht jedem klar, aber ich beschreibe es genauer:

(3) Wir nutzen die Linearitätseigenschaft des unbestimmten Integrals.

(4) Nehmen Sie das letzte Integral („langer“ Logarithmus).

Schauen wir uns nun den Anfang der Lösung an:

Und zum Schluss:

Was ist passiert? Durch unsere Manipulationen wurde das Integral auf sich selbst reduziert!

Setzen wir Anfang und Ende gleich:

Mit Vorzeichenwechsel nach links wechseln:

Und wir verschieben die beiden auf die rechte Seite. Ergebend:

Die Konstante hätte streng genommen früher hinzugefügt werden sollen, aber ich habe sie am Ende hinzugefügt. Ich empfehle dringend, hier zu lesen, was die Strenge ist:

Notiz: Genauer gesagt sieht die letzte Stufe der Lösung so aus:

Auf diese Weise:

Die Konstante kann durch umbenannt werden. Warum kann es umbenannt werden? Weil er es immer noch akzeptiert beliebig Werte, und in diesem Sinne gibt es keinen Unterschied zwischen Konstanten und.
Ergebend:

Ein ähnlicher Trick mit ständiger Neunotierung wird häufig verwendet Differentialgleichung. Und da werde ich streng sein. Und hier lasse ich solche Freiheiten nur zu, um Sie nicht mit unnötigen Dingen zu verwirren und die Aufmerksamkeit genau auf die Integrationsmethode selbst zu lenken.

Beispiel 6

Finden Sie das unbestimmte Integral

Ein weiteres typisches Integral für unabhängige Lösungen. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Es wird einen Unterschied zur Antwort im vorherigen Beispiel geben!

Wenn unter der Quadratwurzel ein Quadrattrinom steht, dann läuft die Lösung auf jeden Fall auf zwei analysierte Beispiele hinaus.

Betrachten Sie zum Beispiel das Integral . Alles, was Sie tun müssen, ist zuerst Wähle ein vollständiges Quadrat aus:
.
Als nächstes wird eine lineare Ersetzung durchgeführt, die „ohne Konsequenzen“ auskommt:
, was zum Integral führt. Etwas Vertrautes, oder?

Oder dieses Beispiel mit einem quadratischen Binomial:
Wählen Sie ein vollständiges Quadrat aus:
Und nach linearer Ersetzung erhalten wir das Integral, das ebenfalls mit dem bereits besprochenen Algorithmus gelöst wird.

Schauen wir uns zwei weitere typische Beispiele an, wie man ein Integral auf sich selbst reduziert:
– Integral der Exponentialfunktion multipliziert mit dem Sinus;
– Integral der Exponentialfunktion multipliziert mit dem Kosinus.

In den aufgelisteten Integralen nach Teilen müssen Sie zweimal integrieren:

Beispiel 7

Finden Sie das unbestimmte Integral

Der Integrand ist die Exponentialfunktion multipliziert mit dem Sinus.

Wir integrieren zweimal partiell und reduzieren das Integral auf sich selbst:

Durch die doppelte partielle Integration wurde das Integral auf sich selbst reduziert. Wir setzen Anfang und Ende der Lösung gleich:

Wir verschieben es mit einem Vorzeichenwechsel auf die linke Seite und drücken unser Integral aus:

Bereit. Gleichzeitig empfiehlt es sich, die rechte Seite zu kämmen, d.h. Nehmen Sie den Exponenten aus den Klammern und setzen Sie Sinus und Cosinus in einer „schönen“ Reihenfolge in Klammern.

Kehren wir nun zum Anfang des Beispiels zurück, genauer gesagt zur partiellen Integration:

Wir haben den Exponenten als bezeichnet. Es stellt sich die Frage: Ist es der Exponent, der immer mit bezeichnet werden sollte? Nicht unbedingt. Tatsächlich im betrachteten Integral grundsätzlich egal, was meinen wir damit, wir hätten auch in die andere Richtung gehen können:

Warum ist das möglich? Da sich die Exponentialfunktion in sich selbst umwandelt (sowohl bei der Differentiation als auch bei der Integration), verwandeln sich Sinus und Cosinus gegenseitig ineinander (wiederum sowohl bei der Differentiation als auch bei der Integration).

Das heißt, wir können auch eine trigonometrische Funktion bezeichnen. Im betrachteten Beispiel ist dies jedoch weniger rational, da Brüche auftreten. Wenn Sie möchten, können Sie versuchen, dieses Beispiel mit der zweiten Methode zu lösen; die Antworten müssen übereinstimmen.

Beispiel 8

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Bevor Sie sich entscheiden, überlegen Sie, was in diesem Fall vorteilhafter ist: eine Exponentialfunktion oder eine trigonometrische Funktion. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Und vergessen Sie natürlich nicht, dass die meisten Antworten in dieser Lektion recht einfach durch Differenzierung zu überprüfen sind!

Die betrachteten Beispiele waren nicht die komplexesten. In der Praxis kommen Integrale häufiger vor, bei denen die Konstante sowohl im Exponenten als auch im Argument der trigonometrischen Funktion vorkommt, zum Beispiel: . Viele Menschen werden bei einem solchen Integral verwirrt sein, und ich selbst bin oft verwirrt. Tatsache ist, dass die Wahrscheinlichkeit hoch ist, dass Brüche in der Lösung auftauchen und es sehr leicht ist, durch Unachtsamkeit etwas zu verlieren. Darüber hinaus besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit eines Vorzeichenfehlers; beachten Sie, dass der Exponent ein Minuszeichen hat, was zusätzliche Schwierigkeiten mit sich bringt.

Im Endstadium sieht das Ergebnis oft etwa so aus:

Auch am Ende der Lösung sollten Sie äußerst vorsichtig sein und die Brüche richtig verstehen:

Komplexe Brüche integrieren

Wir nähern uns langsam dem Äquator der Lektion und beginnen, Integrale von Brüchen zu betrachten. Auch hier sind nicht alle besonders komplex, nur waren die Beispiele aus dem einen oder anderen Grund in anderen Artikeln etwas „off-topic“.

Fortsetzung des Themas Wurzeln

Beispiel 9

Finden Sie das unbestimmte Integral

Im Nenner unter der Wurzel befindet sich ein quadratisches Trinom plus ein „Anhängsel“ in Form eines „X“ außerhalb der Wurzel. Ein solches Integral kann durch eine Standardsubstitution gelöst werden.

Wir entscheiden:

Der Austausch ist hier einfach:

Schauen wir uns das Leben nach dem Austausch an:

(1) Nach der Substitution bringen wir die Terme unter der Wurzel auf einen gemeinsamen Nenner zurück.
(2) Wir nehmen es unter der Wurzel hervor.
(3) Zähler und Nenner werden um reduziert. Gleichzeitig habe ich unter der Wurzel die Begriffe in einer praktischen Reihenfolge neu angeordnet. Mit etwas Erfahrung können die Schritte (1), (2) übersprungen werden, indem die kommentierten Aktionen mündlich ausgeführt werden.
(4) Das resultierende Integral, wie Sie sich aus der Lektion erinnern Einige Brüche integrieren, wird entschieden vollständige quadratische Extraktionsmethode. Wählen Sie ein vollständiges Quadrat aus.
(5) Durch Integration erhalten wir einen gewöhnlichen „langen“ Logarithmus.
(6) Wir führen den umgekehrten Ersatz durch. Wenn zunächst , dann zurück: .
(7) Die letzte Aktion zielt darauf ab, das Ergebnis zu begradigen: Unter der Wurzel bringen wir die Begriffe wieder auf einen gemeinsamen Nenner und nehmen sie unter der Wurzel heraus.

Beispiel 10

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Hier wird dem einzelnen „X“ eine Konstante hinzugefügt, und die Ersetzung ist fast die gleiche:

Das einzige, was Sie zusätzlich tun müssen, ist das „x“ der durchgeführten Ersetzung auszudrücken:

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Manchmal kann in einem solchen Integral ein quadratisches Binomial unter der Wurzel stehen, dies ändert nichts an der Lösungsmethode, es wird sogar noch einfacher. Fühle den Unterschied:

Beispiel 11

Finden Sie das unbestimmte Integral

Beispiel 12

Finden Sie das unbestimmte Integral

Kurze Lösungen und Antworten am Ende der Lektion. Es ist zu beachten, dass Beispiel 11 genau ist Binomialintegral, dessen Lösungsmethode im Unterricht besprochen wurde Integrale irrationaler Funktionen.

Integral eines unzerlegbaren Polynoms 2. Grades hoch

(Polynom im Nenner)

Seltener, aber dennoch gefunden in praktische Beispiele Art des Integrals.

Beispiel 13

Finden Sie das unbestimmte Integral

Aber kehren wir zum Beispiel mit der Glückszahl 13 zurück (ich habe ehrlich gesagt nicht richtig geraten). Dieses Integral gehört auch zu denen, die ziemlich frustrierend sein können, wenn man nicht weiß, wie man es löst.

Die Lösung beginnt mit einer künstlichen Transformation:

Ich denke, jeder versteht bereits, wie man den Zähler durch den Nenner Term für Term dividiert.

Das resultierende Integral wird in Teilen genommen:

Für ein Integral der Form ( – natürliche Zahl) leiten wir ab wiederkehrend Reduktionsformel:
, Wo – Integral einer Stufe niedriger.

Lassen Sie uns die Gültigkeit dieser Formel für das gelöste Integral überprüfen.
In diesem Fall: , , verwenden wir die Formel:

Wie Sie sehen, sind die Antworten die gleichen.

Beispiel 14

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die Beispiellösung verwendet die obige Formel zweimal hintereinander.

Wenn unter dem Abschluss liegt unteilbar Quadratisches Trinom, dann wird die Lösung auf ein Binomial reduziert, indem das perfekte Quadrat isoliert wird, zum Beispiel:

Was ist, wenn im Zähler ein zusätzliches Polynom vorhanden ist? In diesem Fall wird die Methode der unbestimmten Koeffizienten verwendet und der Integrand in eine Summe von Brüchen entwickelt. Aber in meiner Praxis gibt es ein solches Beispiel nie getroffen, daher habe ich diesen Fall im Artikel übersehen Integrale gebrochenrationaler Funktionen, ich werde es jetzt überspringen. Wenn Sie dennoch auf ein solches Integral stoßen, schauen Sie sich das Lehrbuch an – dort ist alles einfach. Ich halte es nicht für ratsam, Material (auch nicht einfaches) einzubeziehen, da die Wahrscheinlichkeit, darauf zu stoßen, gegen Null geht.

Integration komplexer trigonometrischer Funktionen

Das Adjektiv „kompliziert“ ist für die meisten Beispiele wiederum weitgehend bedingt. Beginnen wir mit Tangenten und Kotangenten in hohen Potenzen. Aus der Sicht der verwendeten Lösungsmethoden sind Tangens und Kotangens fast dasselbe, daher werde ich mehr auf Tangens eingehen, was bedeutet, dass die demonstrierte Methode zur Lösung des Integrals auch für Kotangens gilt.

In der obigen Lektion haben wir uns das angeschaut universelle trigonometrische Substitution für Lösungen bestimmter Typ Integrale trigonometrischer Funktionen. Der Nachteil der universellen trigonometrischen Substitution besteht darin, dass ihre Verwendung häufig zu umständlichen Integralen mit schwierigen Berechnungen führt. Und in manchen Fällen kann eine universelle trigonometrische Substitution vermieden werden!

Betrachten wir ein weiteres kanonisches Beispiel, das Integral von Eins dividiert durch den Sinus:

Beispiel 17

Finden Sie das unbestimmte Integral

Hier können Sie die universelle trigonometrische Substitution verwenden und die Antwort erhalten, aber es gibt einen rationaleren Weg. Ich werde die vollständige Lösung mit Kommentaren zu jedem Schritt bereitstellen:

(1) Wir verwenden die trigonometrische Formel für den Sinus eines Doppelwinkels.
(2) Wir führen eine künstliche Transformation durch: Im Nenner dividieren und mit multiplizieren.
(3) Mit der bekannten Formel im Nenner wandeln wir den Bruch in einen Tangens um.
(4) Wir bringen die Funktion unter das Differentialzeichen.
(5) Bilden Sie das Integral.

Paar einfache Beispiele für unabhängige Lösung:

Beispiel 18

Finden Sie das unbestimmte Integral

Hinweis: Der allererste Schritt sollte darin bestehen, die Reduktionsformel zu verwenden und führen Sie sorgfältig Aktionen aus, die dem vorherigen Beispiel ähneln.

Beispiel 19

Finden Sie das unbestimmte Integral

Nun, das ist ein sehr einfaches Beispiel.

Vollständige Lösungen und Antworten am Ende der Lektion.

Ich denke, jetzt wird niemand mehr Probleme mit Integralen haben:
usw.

Was ist die Idee der Methode? Die Idee besteht darin, Transformationen und trigonometrische Formeln zu verwenden, um nur Tangenten und die Tangentenableitung in den Integranden zu organisieren. Das heißt, wir sprechen über das Ersetzen von: . In den Beispielen 17–19 haben wir diese Ersetzung tatsächlich verwendet, aber die Integrale waren so einfach, dass wir mit einer äquivalenten Aktion auskamen – der Subsumierung der Funktion unter dem Differentialzeichen.

Ähnliche Überlegungen lassen sich, wie bereits erwähnt, auch für den Kotangens anstellen.

Für die Inanspruchnahme der oben genannten Ersetzung besteht außerdem eine formelle Voraussetzung:

Die Summe der Potenzen von Kosinus und Sinus ist eine negative ganze GERADE Zahl, Zum Beispiel:

für das Integral – eine negative ganze Zahl GERADE.

! Notiz : Wenn der Integrand NUR einen Sinus oder NUR einen Kosinus enthält, dann wird das Integral auch für einen negativen ungeraden Grad angenommen (die einfachsten Fälle finden sich in den Beispielen Nr. 17, 18).

Schauen wir uns ein paar sinnvollere Aufgaben an, die auf dieser Regel basieren:

Beispiel 20

Finden Sie das unbestimmte Integral

Die Summe der Potenzen von Sinus und Cosinus: 2 – 6 = –4 ist eine negative ganze GERADE Zahl, was bedeutet, dass das Integral auf Tangenten und seine Ableitung reduziert werden kann:

(1) Lassen Sie uns den Nenner transformieren.
(2) Mit der bekannten Formel erhalten wir .
(3) Lassen Sie uns den Nenner transformieren.
(4) Wir verwenden die Formel .
(5) Wir bringen die Funktion unter das Differentialzeichen.
(6) Wir leisten Ersatzlieferung. Erfahrenere Schüler führen die Ersetzung möglicherweise nicht durch, dennoch ist es besser, die Tangente durch einen Buchstaben zu ersetzen – die Gefahr einer Verwechslung ist geringer.

Beispiel 21

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können.

Bleiben Sie dran, die Meisterschaftsrunden beginnen gleich =)

Oftmals enthält der Integrand ein „Durcheinander“:

Beispiel 22

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dieses Integral enthält zunächst eine Tangente, die sofort zu einem bereits bekannten Gedanken führt:

Die künstliche Transformation ganz am Anfang und die restlichen Schritte lasse ich kommentarlos, da oben bereits alles besprochen wurde.

Ein paar kreative Beispiele für Ihre eigene Lösung:

Beispiel 23

Finden Sie das unbestimmte Integral

Beispiel 24

Finden Sie das unbestimmte Integral

Ja, in ihnen können Sie natürlich die Potenzen von Sinus und Cosinus verringern und eine universelle trigonometrische Substitution verwenden, aber die Lösung wird viel effizienter und kürzer sein, wenn sie über Tangenten durchgeführt wird. Vollständige Lösung und Antworten am Ende der Lektion

Hauptintegrale, die jeder Schüler kennen sollte

Die aufgeführten Integrale sind die Basis, die Grundlage der Grundlagen. Diese Formeln sollte man sich unbedingt merken. Wenn Sie komplexere Integrale berechnen, müssen Sie diese ständig verwenden.

Achten Sie besonders auf die Formeln (5), (7), (9), (12), (13), (17) und (19). Vergessen Sie nicht, bei der Integration eine beliebige Konstante C zu Ihrer Antwort hinzuzufügen!

Integral einer Konstante

Integration einer Potenzfunktion

Tatsächlich war es möglich, uns nur auf die Formeln (5) und (7) zu beschränken, aber die übrigen Integrale aus dieser Gruppe kommen so häufig vor, dass es sich lohnt, ihnen ein wenig Aufmerksamkeit zu schenken.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrale von Exponentialfunktionen und hyperbolischen Funktionen

Natürlich kann Formel (8) (vielleicht die bequemste zum Auswendiglernen) als Sonderfall von Formel (9) betrachtet werden. Die Formeln (10) und (11) für die Integrale des hyperbolischen Sinus und hyperbolischen Kosinus lassen sich leicht aus Formel (8) ableiten, es ist jedoch besser, sich diese Beziehungen einfach zu merken.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Grundlegende Integrale trigonometrischer Funktionen

Ein Fehler, den Schüler oft machen, besteht darin, dass sie die Zeichen in den Formeln (12) und (13) verwechseln. Wenn man bedenkt, dass die Ableitung des Sinus gleich dem Cosinus ist, glauben viele Menschen aus irgendeinem Grund, dass das Integral der Funktion sinx gleich cosx ist. Das ist nicht wahr! Das Integral von Sinus ist gleich „minus Cosinus“, aber das Integral von cosx ist gleich „nur Sinus“:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrale, die sich auf inverse trigonometrische Funktionen reduzieren lassen

Formel (16), die zum Arkustangens führt, ist natürlich ein Sonderfall von Formel (17) für a=1. Ebenso ist (18) ein Sonderfall von (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Komplexere Integrale

Es ist auch ratsam, sich diese Formeln zu merken. Sie werden auch recht oft verwendet und ihre Ausgabe ist recht mühsam.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Allgemeine Integrationsregeln

1) Das Integral der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der entsprechenden Integrale: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Das Integral der Differenz zweier Funktionen ist gleich der Differenz der entsprechenden Integrale: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Die Konstante kann aus dem Integralzeichen entnommen werden: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Es ist leicht zu erkennen, dass Eigenschaft (26) einfach eine Kombination der Eigenschaften (25) und (27) ist.

4) Integral einer komplexen Funktion, wenn die innere Funktion linear ist: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Hier ist F(x) eine Stammfunktion für die Funktion f(x). Bitte beachten Sie: Diese Formel funktioniert nur, wenn die innere Funktion Ax + B ist.

Wichtig: Für das Integral des Produkts zweier Funktionen sowie für das Integral eines Bruchs gibt es keine universelle Formel:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (dreißig)

Das bedeutet natürlich nicht, dass ein Bruch oder ein Produkt nicht integriert werden kann. Es ist nur so, dass Sie jedes Mal, wenn Sie ein Integral wie (30) sehen, einen Weg finden müssen, es zu „bekämpfen“. In einigen Fällen hilft Ihnen die partielle Integration, in anderen müssen Sie eine Änderung der Variablen vornehmen, und manchmal können sogar „schulische“ Algebra- oder Trigonometrieformeln hilfreich sein.

Ein einfaches Beispiel für die Berechnung des unbestimmten Integrals

Verwenden wir die Formeln (25) und (26) (das Integral der Summe oder Differenz von Funktionen ist gleich der Summe oder Differenz der entsprechenden Integrale). Wir erhalten: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Erinnern wir uns daran, dass die Konstante aus dem Integralzeichen entnommen werden kann (Formel (27)). Der Ausdruck wird in das Formular umgewandelt

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Lassen Sie uns nun einfach die Tabelle der Basisintegrale verwenden. Wir müssen die Formeln (3), (12), (8) und (1) anwenden. Integrieren wir die Potenzfunktion, den Sinus, die Exponentialfunktion und die Konstante 1. Vergessen Sie nicht, am Ende eine beliebige Konstante C hinzuzufügen:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Nach elementaren Transformationen erhalten wir die endgültige Antwort:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testen Sie sich selbst durch Differentiation: Nehmen Sie die Ableitung der resultierenden Funktion und stellen Sie sicher, dass sie gleich dem ursprünglichen Integranden ist.

Übersichtstabelle der Integrale

Laden Sie die Integraltabelle (Teil II) über diesen Link herunter

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