Suatu garis yang memotong suatu bidang dikatakan tegak lurus terhadap bidang tersebut jika garis tersebut tegak lurus terhadap setiap garis pada bidang yang melalui titik perpotongan garis tersebut dan bidang tersebut.

Gambar 131 menunjukkan garis lurus a yang tegak lurus bidang a.

T.2.9. Jika sebuah garis yang memotong suatu bidang tegak lurus terhadap dua garis pada bidang tersebut yang melalui titik potong tersebut, maka garis tersebut tegak lurus terhadap bidang tersebut.

Teorema ini disebut tanda tegak lurus garis dan bidang atau teorema dua tegak lurus.

Gambar 132 menunjukkan garis a, tegak lurus terhadap garis c dan melalui titik potong bidang a dan garis a dan terletak pada bidang a. Dapat dikatakan bahwa.

Dua teorema berikutnya berbicara tentang hubungan antara paralelisme dan tegak lurus garis dan bidang.

T.2.10. Jika sebuah bidang tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka bidang tersebut juga tegak lurus terhadap yang lain.

T.2.11. Dua garis yang tegak lurus pada bidang yang sama adalah sejajar.

Gambar 133 menunjukkan garis a dan bidang a, yang dibahas dalam Teorema 2.10 dan 2.11.

Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis ini dan proyeksinya ke bidang.

Gambar 134 menunjukkan bidang a dan garis lurus a, yang

melintasinya. Garis a adalah proyeksi garis a ke bidang a. Maka sudut adalah sudut antara garis a dan bidang a. Sudut antara garis sejajar dan bidang dianggap sama dengan moncongnya, dan sudut antara garis tegak lurus dan bidang dianggap sama dengan 90 °. Karena garis a, proyeksinya a pada bidang a dan tegak lurus bidang a pada titik perpotongannya dengan garis a terletak pada bidang yang sama, sudut antara garis dan bidang melengkapi sudut antara garis ini dan tegak lurus terhadap bidang hingga 90°.

Contoh. Sebuah segmen sepanjang 10 cm memotong sebuah bidang, dan ujung-ujungnya berada pada jarak 3 dan 2 cm dari bidang. Temukan sudut antara segmen yang diberikan dan bidang.

6.1 Penentuan tegak lurus garis dan bidang

Gagasan garis lurus, atau lebih tepatnya, segmen yang tegak lurus terhadap bidang, diberikan oleh kutub yang berdiri secara vertikal (tegak tegak lurus dengan permukaan bumi), kabel yang direntangkan tempat lampu digantung (tegak tegak lurus terhadap langit-langit), kaki meja (tegak lurus dengan lantai). Kusen pintu vertikal tegak lurus dengan lantai, dan tepi bawah pintu, bersebelahan dengan lantai, tegak lurus dengan kusen di semua posisi pintu (Gbr. 73, a). Sifat ini menentukan tegak lurus garis lurus dan bidang.

Definisi. Sebuah garis lurus disebut tegak lurus terhadap sebuah bidang jika ia memotong bidang ini dan tegak lurus terhadap setiap garis lurus pada bidang ini yang melalui titik potong (Gbr. 73, b).

Beras. 73

Mereka juga mengatakan bahwa bidang itu tegak lurus terhadap garis, atau bahwa keduanya saling tegak lurus. Untuk garis yang saling tegak lurus a dan bidang a, digunakan sebutan a atau a.

Segmen garis atau sinar tegak lurus terhadap suatu bidang jika terletak pada suatu garis yang tegak lurus terhadap bidang tersebut. Jika sebuah segmen tegak lurus terhadap sebuah bidang dan ujungnya terletak pada bidang ini, maka segmen tersebut disebut tegak lurus terhadap bidang yang diberikan.

6.2 Tegak lurus dan miring

Segmen yang memiliki satu titik yang sama dengan bidang - ujung segmen, tetapi tidak tegak lurus terhadap bidang yang diberikan, disebut miring ke bidang.

Biarkan AB tegak lurus dan AC miring ditarik dari satu titik A, tidak terletak di bidang a (Gbr. 74). Segmen BC disebut proyeksi AC miring ke bidang .

Beras. 74

Garis tegak lurus AB lebih pendek dari AC miring, yaitu AB< АС. Действительно, в прямоугольном треугольнике ABC катет АВ короче гипотенузы АС. Итак, перпендикуляр короче наклонной, если они проведены из одной и той же точки к одной плоскости.

Ini juga dapat dikatakan sebagai berikut: tegak lurus AB dari titik A ke bidang adalah segmen terpendek yang menghubungkan titik A dengan titik-titik bidang .

Sifat tegak lurus menjadi ruas terpendek adalah sifat karakteristik. Artinya, pernyataan kebalikan juga benar: jika AB adalah ruas terpendek dari titik A ke bidang , maka AB tegak lurus bidang .

Bukti. Mari kita buktikan ini dengan kontradiksi. Asumsikan bahwa AB tidak tegak lurus terhadap . Kemudian sebuah garis lurus a melalui titik B pada bidang , tidak tegak lurus AB (Gbr. 75). Mari kita turunkan tegak lurus AM dari A ke garis a. Dalam segitiga siku-siku AVM, kaki AM lebih kecil dari sisi miring AB:AM< АВ. Но тогда отрезок АВ не будет кратчайшим из всех отрезков, идущих из точки А до плоскости а. Получили противоречие. Следовательно, АВ ⊥ α.

Beras. 75

Panjang garis tegak lurus, diturunkan dari titik tertinggi benda ke alasnya, mengukur tinggi benda. Jadi, tinggi piramida adalah panjang tegak lurus yang diturunkan dari puncak piramida ke bidang alasnya, serta tegak lurus itu sendiri (pada Gambar 76, a, b adalah segmen RO).

Beras. 76

6.3 Tentang arti tegak lurus

Tegak lurus terhadap bidang memainkan peran yang sangat penting, dan selain fakta bahwa itu adalah yang terpendek di antara semua segmen dari titik tertentu ke titik-titik pesawat. Mari kita jelaskan artinya. Posisi sebuah bidang dalam ruang dapat ditentukan dengan menentukan garis lurus yang tegak lurus terhadapnya dan titik di mana ia memotong garis lurus ini.

Sifat terpenting dari tegak lurus adalah bahwa bidang terletak secara simetris terhadapnya. Apa artinya? Semua sinar yang terletak pada bidang tertentu membentuk sudut yang sama dengannya - sudut siku-siku, tetapi untuk bidang miring tidak demikian (Gbr. 77, a). Saat berputar di sekitar tegak lurus, bidang sejajar dengan dirinya sendiri: roda harus dipasang pada poros sehingga bidangnya tegak lurus terhadap poros. Sebuah persegi panjang dengan sisi tegak lurus terhadap bidang dapat diputar di sekitar sisi itu dan sisi lainnya akan meluncur di sepanjang bidang. Ini terlihat jelas pada pintu yang digantung dengan benar. Jika ujungnya tidak vertikal, pintu tidak terbuka dengan bebas dan menyentuh lantai.

Beras. 77

Mengambil contoh dari fisika, dapat dicatat bahwa tekanan cairan atau gas pada dinding bejana diarahkan tegak lurus ke dinding, seperti halnya tekanan beban pada penopang diarahkan tegak lurus terhadapnya (Gbr. 77, b dan 78, a).

Beras. 78

Garis tegak lurus permukaan muncul dalam hukum pemantulan dan pembiasan cahaya. Jadi, hukum pemantulan mengatakan: "Berkas datang dan sinar pantul terletak pada bidang yang sama dengan tegak lurus permukaan cermin pada titik datang dan membentuk sudut yang sama dengannya." "Sudut datang" dan "sudut pantul" adalah sudut antara tegak lurus yang ditunjukkan dan sinar datang dan sinar pantul (Gbr. 78, b).

Tetapi arti utama dari tegak lurus adalah perannya dalam teknologi dan dalam seluruh hidup kita.

Kita, dapat dikatakan, dikelilingi oleh garis tegak lurus: kaki meja tegak lurus dengan lantai, tepi lemari tegak lurus dengan dinding, dll.

Vertikal tegak lurus terhadap bidang horizontal. Vertikalitas diperiksa dengan garis tegak lurus (lihat foto). Tegak lurus memainkan peran utama dalam konstruksi: lantai antar lantai diletakkan tegak lurus dengan pilar rangka bangunan.

Seperti yang akan kita lihat nanti, paralelisme bidang dikaitkan dengan keberadaan tegak lurus umum. Tegak lurus dan paralelisme garis lurus dan bidang merupakan elemen penting dalam konstruksi, sehingga doktrin tegak lurus dan paralel dapat disebut sebagai dasar "geometri bangunan".

Pertanyaan untuk pengendalian diri

1. Apa perbedaan antara tegak lurus bidang dan miring ke bidang?
2. Apa definisi tegak lurus bidang?
3. Apa yang dimaksud dengan tegak lurus bidang?

Tanda-tanda tegak lurus:

Garis tegak lurus bidang , jika _________________________________________

Garis lurus saling tegak lurus , jika __________________________________________________

Pesawat tegak lurus , jika ________________________________________________

_______________________________________________________________________________.

Tugas 1. Bangun sebuah bola yang berpusat di titik A, bersinggungan dengan bidang tertentu.

Algoritma:

Tugas 2. Buatlah sebuah titik pada jarak 20 mm dari bidang.

Algoritma:

Tugas 3. Tentukan jarak dari titik ke garis.

Algoritma:

Tugas 4: Lengkapi proyeksi segitiga yang hilang jika sudutnya PADA lurus.

Algoritma:

Tugas 5 : Bangun persegi dengan sisi BC pada garis lurus aku.

Algoritma:

Tugas 6 : Lengkapi proyeksi segitiga jika tegak lurus terhadap bidang yang diberikan.

Algoritma:

Pertanyaan untuk pengendalian diri atas pengetahuan

Dalam kasus apa sudut siku-siku diproyeksikan ke bidang proyeksi tanpa distorsi?

Apa garis kemiringan terbesar?

Apa garis kemiringan terbesar di sebuah pesawat?

Bagaimana menentukan sudut kemiringan bidang terhadap bidang proyeksi horizontal, frontal, profil?

Bagaimana tanda tegak lurus garis lurus dan bidang dirumuskan dari sudut pandang geometri dasar?

Jika sebuah garis diketahui tegak lurus sebuah bidang, berapa banyak garis yang dapat ditarik yang terletak pada bidang yang tegak lurus terhadapnya?

Manakah dua garis berpotongan pada bidang yang harus dipilih dari himpunan garis sehingga sudut siku-siku yang terletak di antara mereka dan garis yang diberikan diproyeksikan ke bidang proyeksi tanpa distorsi?

Dari sini, rumuskan tanda tegak lurus garis lurus dan bidang dari sudut pandang geometri deskriptif.

Bagaimana membangun tegak lurus terhadap bidang pada posisi umum di CC?

Bagaimana cara membuat garis lurus yang tegak lurus dengan bidang proyeksi pada CC?

Bagaimana sudut siku-siku diproyeksikan ke bidang proyeksi di antara garis berpotongan jika tidak ada yang sejajar dengan bidang proyeksi ini?

Rumuskan tanda tegak lurus garis posisi umum.

Merumuskan tanda tegak lurus bidang.

Topik 11: Metode untuk mengganti bidang proyeksi

Empat tugas utama geometri deskriptif:

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Di CC tetap tidak berubah ______________________________________

________________________________________________________________________________

Geometri. Tugas dan latihan pada gambar yang sudah jadi. kelas 10-11. Rabinovich E.M.

M.: 2014. - 80 hal.

Manual ini disusun dalam bentuk tabel dan berisi lebih dari 350 tugas. Tujuan dari setiap tabel sesuai dengan topik tertentu kursus sekolah geometri kelas 10-11 dan terletak di dalam tabel dalam rangka meningkatkan kompleksitas.

Seorang guru matematika yang bekerja di sekolah menengah tahu betul betapa sulitnya mengajar siswa membuat gambar visual dan benar untuk masalah stereometrik.

Karena kurangnya imajinasi spasial, tugas stereometrik, yang Anda perlukan untuk menggambar sendiri, sering kali menjadi beban bagi siswa.

Itulah sebabnya penggunaan gambar yang sudah jadi untuk tugas-tugas stereometrik secara signifikan meningkatkan jumlah materi yang dipertimbangkan dalam pelajaran, meningkatkan efektivitasnya.

Manual yang diusulkan adalah kumpulan masalah tambahan dalam geometri untuk siswa di kelas 10-11 dari sekolah pendidikan umum dan difokuskan pada buku teks oleh A.V. Pogorelov "Geometri 7-11". Ini adalah kelanjutan dari manual serupa untuk siswa di kelas 7-9.

Format: pdf(2014, 80-an.)

Ukuran: 1,2 MB

Tonton, unduh:drive.google ; hantu

Format: djvu(2006, 80-an.)

Ukuran: 1,3 MB

Unduh: drive.google

Daftar Isi
Kata Pengantar 3
Pengulangan perjalanan planimetri 5
Tabel 1. Solusi segitiga 5
Tabel 2. Luas segitiga 6
Tabel 3. Luas segi empat 7
Tabel 4. Luas segi empat 8
Stereometri. 10 kelas 9
Tabel 10.1. Aksioma stereometri dan konsekuensinya yang paling sederhana ... 9
Tabel 10.2. Aksioma stereometri dan konsekuensinya yang paling sederhana. sepuluh
Tabel 10.3. Paralelisme garis dalam ruang. Garis silang 11
Tabel 10.4. Paralelisme garis dan bidang 12
Tabel 10.5. Tanda bidang sejajar 13
Tabel 10.6. Sifat-sifat bidang sejajar 14
Tabel 10.7. Gambar angka spasial di pesawat 15
Tabel 10.8. Gambar angka spasial di pesawat 16
Tabel 10.9. Tegak lurus garis dan bidang 17
Tabel 10.10. Tegak lurus garis dan bidang 18
Tabel 10.11. Tegak lurus dan miring 19
Tabel 10.12. Tegak lurus dan miring 20
Tabel 10.13. Teorema tiga tegak lurus 21
Tabel 10.14. Teorema tiga tegak lurus 22
Tabel 10.15. Teorema tiga tegak lurus 23
Tabel 10.16. Tegak lurus bidang 24
Tabel 10.17. Pesawat Tegak Lurus 25
Tabel 10.18. Jarak antar garis persilangan 26
Tabel 10.19. Koordinat Cartesian dalam ruang 27
Tabel 10.20. Sudut antara garis miring 28
Tabel 10.21. Sudut antara garis dan bidang 29
Tabel 10.22. Sudut antar bidang 30
Tabel 10.23. Luas proyeksi ortogonal poligon 31
Tabel 10.24. Vektor dalam ruang 32
Stereometri. 11 kelas 33
Tabel 11.1. Sudut dihedral. Sudut segitiga 33
Tabel 11.2. Prisma lurus 34
Tabel 11.3. Prisma yang benar 35
Tabel 11.4. Prisma yang benar 36
Tabel 11.5. Prisma miring 37
Tabel 11.6. Paralelepiped 38
Tabel 11.7. Konstruksi bagian prisma 39
Tabel 11.8. Piramida yang benar 40
Tabel 11.9. Piramida 41
Tabel 11.10. Piramida 42
Tabel 11.11. Piramida. Piramida Terpotong 43
Tabel 11.12. Memotong Piramida 44
Tabel 11.13. Silinder 45
Tabel 11.14. kerucut 46
Tabel 11.15. Kerucut. Kerucut Terpotong 47
Tabel 11.16. Bola 48
Tabel 11.17. Bola bertulis dan dibatasi 49
Tabel 11.18. Volume paralelepiped adalah 50
Tabel 11.19. Volume Prisma 51
Tabel 11.20. Piramida Volume 52
Tabel 11.21. Piramida Volume 53
Tabel 11.22. volume piramida. Volume piramida terpotong 54
Tabel 11.23. Volume dan luas permukaan lateral silinder..55
Tabel 11.24. Volume dan luas permukaan lateral kerucut 56
Tabel 11.25. Volume kerucut. Volume kerucut terpotong. Luas permukaan lateral kerucut. Luas permukaan lateral kerucut terpotong 57
Tabel 11.26. Volume bola. Luas permukaan bola 58
Jawaban, instruksi, solusi 59