Integral kompleks

Artikel ini melengkapi topik integral tak tentu, termasuk integral yang menurut saya cukup sulit. Pelajaran dibuat atas permintaan berulang dari pengunjung yang menyatakan keinginan mereka agar contoh yang lebih sulit dianalisis di situs.

Diasumsikan bahwa pembaca teks ini sudah siap dan tahu bagaimana menerapkan teknik dasar integrasi. Orang bodoh dan orang yang tidak terlalu percaya diri dengan integral harus mengacu pada pelajaran pertama - integral tak tentu. Contoh solusi di mana Anda dapat mempelajari topik hampir dari awal. Siswa yang lebih berpengalaman dapat berkenalan dengan teknik dan metode integrasi, yang belum ditemukan dalam artikel saya.

Integral apa yang akan dipertimbangkan?

Pertama, kami mempertimbangkan integral dengan akar, untuk solusi yang kami gunakan berturut-turut substitusi variabel dan integrasi per bagian. Artinya, dalam satu contoh, dua metode digabungkan sekaligus. Dan bahkan lebih.

Kemudian kita akan berkenalan dengan yang menarik dan orisinal metode pengurangan integral ke dirinya sendiri. Tidak sedikit integral yang diselesaikan dengan cara ini.

Angka ketiga dari program akan menjadi integral dari pecahan kompleks, yang terbang melewati mesin kasir di artikel sebelumnya.

Keempat, integral tambahan dari fungsi trigonometri akan dianalisis. Secara khusus, ada metode yang menghindari substitusi trigonometri universal yang memakan waktu.

(2) Dalam integral, kita membagi pembilang dengan penyebut suku demi suku.

(3) Kami menggunakan sifat linearitas integral tak tentu. Dalam integral terakhir, segera bawa fungsi di bawah tanda diferensial.

(4) Kami mengambil integral yang tersisa. Perhatikan bahwa Anda dapat menggunakan tanda kurung dalam logaritma dan bukan modulus, karena .

(5) Kami melakukan substitusi terbalik, yang dinyatakan dari substitusi langsung "te":

Siswa masokis dapat membedakan jawaban dan mendapatkan integran asli, seperti yang baru saja saya lakukan. Tidak, tidak, saya melakukan pemeriksaan dalam arti yang benar =)

Seperti yang Anda lihat, dalam penyelesaian solusi, bahkan lebih dari dua metode solusi harus digunakan, jadi untuk menangani integral semacam itu, Anda memerlukan keterampilan integrasi yang percaya diri dan tidak sedikit pengalaman.

Dalam praktiknya, tentu saja, akar kuadrat lebih umum, berikut adalah tiga contoh untuk solusi independen:

Contoh 2

Tentukan integral tak tentu

Contoh 3

Tentukan integral tak tentu

Contoh 4

Tentukan integral tak tentu

Contoh-contoh ini dari jenis yang sama, jadi solusi lengkap di akhir artikel hanya untuk Contoh 2, dalam Contoh 3-4 - satu jawaban. Pengganti mana yang digunakan pada awal keputusan, saya pikir, sudah jelas. Mengapa saya memilih jenis contoh yang sama? Sering ditemukan dalam peran mereka. Lebih sering, mungkin, hanya sesuatu seperti .

Tetapi tidak selalu, ketika di bawah busur tangen, sinus, cosinus, eksponen, dan fungsi lainnya ada akar dari fungsi linear, perlu menerapkan beberapa metode sekaligus. Dalam beberapa kasus, dimungkinkan untuk "turun dengan mudah", yaitu, segera setelah penggantian, diperoleh integral sederhana, yang diambil secara elementer. Tugas termudah yang diusulkan di atas adalah Contoh 4, di mana, setelah penggantian, diperoleh integral yang relatif sederhana.

Metode pengurangan integral ke dirinya sendiri

Metode yang cerdas dan indah. Mari kita lihat genre klasik:

Contoh 5

Tentukan integral tak tentu

Ada binomial persegi di bawah akar, dan ketika mencoba untuk mengintegrasikan diberikan contoh ketel bisa menderita selama berjam-jam. Integral semacam itu diambil oleh bagian-bagian dan direduksi menjadi dirinya sendiri. Pada prinsipnya, tidak sulit. Jika Anda tahu caranya.

Mari kita tunjukkan integral yang dipertimbangkan dengan huruf Latin dan mulai solusinya:

Mengintegrasikan dengan bagian:

(1) Kami menyiapkan integran untuk pembagian term-by-term.

(2) Kami membagi suku integran dengan suku. Mungkin tidak semua orang mengerti, saya akan menulis lebih detail:

(3) Kami menggunakan sifat linearitas integral tak tentu.

(4) Kami mengambil integral terakhir (logaritma "panjang").

Sekarang mari kita lihat solusi paling awal:

Dan untuk endingnya:

Apa yang terjadi? Sebagai hasil dari manipulasi kami, integral telah direduksi menjadi dirinya sendiri!

Samakan awal dan akhir:

Kami pindah ke sisi kiri dengan perubahan tanda:

Dan kami menghancurkan deuce ke sisi kanan. Hasil dari:

Konstanta, sebenarnya, seharusnya ditambahkan lebih awal, tetapi saya menambahkannya di akhir. Saya sangat merekomendasikan membaca apa tingkat keparahannya di sini:

Catatan: Lebih tepatnya, tahap akhir dari solusi terlihat seperti ini:

Lewat sini:

Konstanta dapat dinamai ulang dengan . Kenapa bisa ganti nama? Karena masih butuh setiap nilai, dan dalam pengertian ini tidak ada perbedaan antara konstanta dan.
Hasil dari:

Trik serupa dengan penggantian nama konstan banyak digunakan di persamaan diferensial. Dan di sana saya akan ketat. Dan di sini kebebasan seperti itu diizinkan oleh saya hanya agar tidak membingungkan Anda dengan hal-hal yang tidak perlu dan fokus pada metode integrasi itu sendiri.

Contoh 6

Tentukan integral tak tentu

Integral tipikal lain untuk solusi independen. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran. Perbedaannya dengan jawaban dari contoh sebelumnya adalah!

Jika ada trinomial kuadrat di bawah akar kuadrat, maka solusinya dalam hal apa pun direduksi menjadi dua contoh yang dianalisis.

Sebagai contoh, perhatikan integral . Yang perlu Anda lakukan adalah terlebih dahulu pilih kotak penuh:
.
Selanjutnya, penggantian linier dilakukan, yang mengelola "tanpa konsekuensi apa pun":
, menghasilkan integral . Sesuatu yang akrab, bukan?

Atau contoh ini, dengan binomial persegi:
Memilih kotak penuh:
Dan, setelah penggantian linier , kita mendapatkan integral , yang juga diselesaikan oleh algoritma yang sudah dipertimbangkan.

Pertimbangkan dua contoh yang lebih umum tentang cara mereduksi integral ke dirinya sendiri:
adalah integral dari eksponen dikalikan dengan sinus;
adalah integral dari eksponen dikalikan dengan kosinus.

Dalam integral yang terdaftar dengan bagian, Anda harus mengintegrasikan dua kali:

Contoh 7

Tentukan integral tak tentu

Integran adalah eksponen dikalikan dengan sinus.

Kami mengintegrasikan dengan bagian dua kali dan mengurangi integral itu sendiri:

Sebagai hasil dari integrasi ganda oleh bagian-bagian, integral direduksi menjadi dirinya sendiri. Samakan awal dan akhir dari solusi:

Kami mentransfer ke sisi kiri dengan perubahan tanda dan mengekspresikan integral kami:

Siap. Sepanjang jalan, diinginkan untuk menyisir sisi kanan, mis. keluarkan eksponen dari kurung, dan tempatkan sinus dan kosinus dalam kurung dalam urutan "indah".

Sekarang mari kembali ke awal contoh, atau lebih tepatnya, ke integrasi berdasarkan bagian:

Karena kami telah menunjuk peserta pameran. Timbul pertanyaan, eksponen yang harus selalu dilambangkan dengan ? Tidak perlu. Sebenarnya, dalam integral yang dipertimbangkan pada dasarnya tidak masalah, untuk apa dilambangkan, orang bisa pergi ke arah lain:

Mengapa ini mungkin? Karena eksponen berubah menjadi dirinya sendiri (ketika membedakan dan mengintegrasikan), sinus dan cosinus saling berubah menjadi satu sama lain (sekali lagi, baik ketika membedakan dan mengintegrasikan).

Artinya, fungsi trigonometri dapat dilambangkan juga. Tetapi, dalam contoh yang dipertimbangkan, ini kurang rasional, karena pecahan akan muncul. Jika mau, Anda dapat mencoba menyelesaikan contoh ini dengan cara kedua, jawabannya harus sama.

Contoh 8

Tentukan integral tak tentu

Ini adalah contoh do-it-yourself. Sebelum memutuskan, pikirkan apa yang lebih menguntungkan dalam hal ini untuk ditunjuk, fungsi eksponensial atau trigonometri? Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Dan, tentu saja, jangan lupa bahwa sebagian besar jawaban dalam pelajaran ini cukup mudah untuk diperiksa dengan diferensiasi!

Contoh-contoh itu dianggap bukan yang paling sulit. Dalam praktiknya, integral lebih umum, di mana konstanta dalam eksponen dan argumen fungsi trigonometri, misalnya: . Banyak orang harus bingung dalam integral seperti itu, dan saya sendiri sering bingung. Faktanya adalah bahwa dalam solusi ada kemungkinan besar munculnya pecahan, dan sangat mudah untuk kehilangan sesuatu karena kurangnya perhatian. Selain itu, ada kemungkinan besar kesalahan dalam tanda, perhatikan bahwa ada tanda minus di eksponen, dan ini menimbulkan kesulitan tambahan.

Pada tahap akhir, sering terjadi seperti ini:

Bahkan di akhir solusi, Anda harus sangat berhati-hati dan menangani pecahan dengan benar:

Integrasi pecahan kompleks

Kami perlahan-lahan mendekati ekuator pelajaran dan mulai mempertimbangkan integral pecahan. Sekali lagi, tidak semuanya super kompleks, hanya karena satu dan lain alasan, contohnya sedikit "di luar topik" di artikel lain.

Melanjutkan tema akar

Contoh 9

Tentukan integral tak tentu

Pada penyebut di bawah akar ada trinomial persegi ditambah di luar akar "tambahan" dalam bentuk "X". Integral dari bentuk ini diselesaikan dengan menggunakan substitusi standar.

Kami memutuskan:

Penggantian di sini sederhana:

Melihat kehidupan setelah penggantian:

(1) Setelah substitusi, kami mengurangi suku di bawah akar menjadi penyebut yang sama.
(2) Kami mengeluarkannya dari bawah akar.
(3) Kami mengurangi pembilang dan penyebutnya dengan . Pada saat yang sama, di bawah root, saya mengatur ulang persyaratan dalam urutan yang nyaman. Dengan beberapa pengalaman, langkah (1), (2) dapat dilewati dengan melakukan tindakan yang dikomentari secara lisan.
(4) Integral yang dihasilkan, seperti yang Anda ingat dari pelajaran Integrasi beberapa pecahan, terpecahkan metode pemilihan kotak penuh. Pilih persegi penuh.
(5) Dengan integrasi, kita memperoleh logaritma "panjang" biasa.
(6) Kami melakukan penggantian terbalik. Jika awalnya , kemudian kembali: .
(7) Tindakan terakhir ditujukan untuk menyisir hasilnya: di bawah akar, kami kembali membawa istilah ke penyebut yang sama dan mengeluarkannya dari bawah akar.

Contoh 10

Tentukan integral tak tentu

Ini adalah contoh do-it-yourself. Di sini, sebuah konstanta ditambahkan ke satu-satunya x, dan penggantiannya hampir sama:

Satu-satunya hal yang perlu dilakukan tambahan adalah mengekspresikan "x" dari pengganti:

Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Terkadang dalam integral seperti itu mungkin ada binomial kuadrat di bawah akar, ini tidak mengubah cara penyelesaiannya, bahkan akan lebih sederhana. Rasakan perbedaan nya:

Contoh 11

Tentukan integral tak tentu

Contoh 12

Tentukan integral tak tentu

Solusi Singkat dan jawaban di akhir pelajaran. Perlu dicatat bahwa Contoh 11 persis integral binomial, metode penyelesaian yang dipertimbangkan dalam pelajaran Integral fungsi irasional.

Integral polinomial tak terdekomposisi dari derajat ke-2 sampai derajat

(polinomial dalam penyebut)

Lebih jarang, tetapi, bagaimanapun, bertemu di contoh praktis jenis integral.

Contoh 13

Tentukan integral tak tentu

Tapi mari kita kembali ke contoh dengan angka keberuntungan 13 (jujur, saya tidak menebak). Integral ini juga dari kategori yang dapat membuat Anda sangat menderita jika Anda tidak tahu bagaimana menyelesaikannya.

Solusinya dimulai dengan transformasi buatan:

Saya rasa semua orang sudah mengerti cara membagi pembilang dengan penyebut suku demi suku.

Integral yang dihasilkan diambil dalam bagian:

Untuk integral bentuk ( adalah bilangan asli), kami telah menurunkan berulang menurunkan rumus:
, di mana merupakan integral dari derajat yang lebih rendah.

Mari kita verifikasi validitas rumus ini untuk integral yang diselesaikan.
Dalam hal ini: , , kami menggunakan rumus:

Seperti yang Anda lihat, jawabannya sama.

Contoh 14

Tentukan integral tak tentu

Ini adalah contoh do-it-yourself. Solusi sampel menggunakan rumus di atas dua kali berturut-turut.

Jika di bawah derajat adalah yg tak dpt dibagi trinomial kuadrat, maka solusinya direduksi menjadi binomial dengan mengekstraksi kuadrat penuh, misalnya:

Bagaimana jika ada polinomial tambahan di pembilangnya? Dalam hal ini, metode koefisien tak tentu digunakan, dan integran diperluas menjadi jumlah pecahan. Tetapi dalam praktik saya tentang contoh seperti itu tidak pernah bertemu, jadi saya melewatkan kasus ini di artikel Integral fungsi pecahan-rasional, saya akan melewatkannya sekarang. Jika integral seperti itu masih terjadi, lihat buku teks - semuanya sederhana di sana. Saya tidak menganggap bijaksana untuk memasukkan materi (bahkan sederhana), kemungkinan pertemuan dengan yang cenderung nol.

Integrasi fungsi trigonometri kompleks

Kata sifat "sulit" untuk sebagian besar contoh sekali lagi sebagian besar bersyarat. Mari kita mulai dengan garis singgung dan kotatangen dalam kekuatan tinggi. Dari sudut pandang metode yang digunakan untuk menyelesaikan tangen dan kotangen hampir sama, jadi saya akan berbicara lebih banyak tentang tangen, artinya metode penyelesaian integral yang ditunjukkan juga berlaku untuk kotangen.

Dalam pelajaran di atas, kita melihat substitusi trigonometri universal untuk solusi jenis tertentu integral fungsi trigonometri. Kerugian dari substitusi trigonometri universal adalah bahwa penerapannya sering menyebabkan integral yang rumit dengan perhitungan yang sulit. Dan dalam beberapa kasus, substitusi trigonometri universal dapat dihindari!

Pertimbangkan contoh kanonik lain, integral kesatuan dibagi dengan sinus:

Contoh 17

Tentukan integral tak tentu

Di sini Anda dapat menggunakan substitusi trigonometri universal dan mendapatkan jawabannya, tetapi ada cara yang lebih rasional. Saya akan memberikan solusi lengkap dengan komentar untuk setiap langkah:

(1) Kami menggunakan rumus trigonometri untuk sinus sudut ganda.
(2) Kami melakukan transformasi buatan: Dalam penyebut kami membagi dan mengalikan dengan .
(3) Menurut rumus terkenal di penyebut, kami mengubah pecahan menjadi garis singgung.
(4) Kami membawa fungsi di bawah tanda diferensial.
(5) Kita ambil integralnya.

Pasangan contoh sederhana untuk solusi independen:

Contoh 18

Tentukan integral tak tentu

Petunjuk: Langkah pertama adalah menggunakan rumus reduksi dan hati-hati melakukan tindakan yang mirip dengan contoh sebelumnya.

Contoh 19

Tentukan integral tak tentu

Nah, ini adalah contoh yang sangat sederhana.

Selesaikan solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Saya pikir sekarang tidak ada yang akan memiliki masalah dengan integral:
dll.

Apa ide di balik metode tersebut? Idenya adalah untuk menggunakan transformasi, rumus trigonometri untuk mengatur hanya garis singgung dan turunan dari garis singgung dalam integran. Artinya, kita berbicara tentang mengganti: . Dalam Contoh 17-19, kami sebenarnya menggunakan penggantian ini, tetapi integralnya sangat sederhana sehingga dilakukan dengan tindakan yang setara - membawa fungsi di bawah tanda diferensial.

Penalaran serupa, seperti yang telah saya sebutkan, dapat dilakukan untuk kotangen.

Ada juga prasyarat formal untuk menerapkan substitusi di atas:

Jumlah pangkat cosinus dan sinus adalah bilangan bulat negatif GENAP, Misalnya:

untuk integral, bilangan genap negatif bilangan bulat.

! Catatan : jika integran HANYA berisi sinus atau HANYA cosinus, maka integral tersebut diambil genap dengan derajat ganjil negatif (kasus paling sederhana ada pada Contoh No. 17, 18).

Pertimbangkan beberapa tugas yang lebih bermakna untuk aturan ini:

Contoh 20

Tentukan integral tak tentu

Jumlah derajat sinus dan kosinus: 2 - 6 \u003d -4 - bilangan genap negatif bilangan bulat, yang berarti bahwa integral dapat direduksi menjadi garis singgung dan turunannya:

(1) Mari kita ubah penyebutnya.
(2) Menurut rumus yang terkenal, kita peroleh .
(3) Mari kita ubah penyebutnya.
(4) Kami menggunakan rumus .
(5) Kami membawa fungsi di bawah tanda diferensial.
(6) Kami melakukan penggantian. Siswa yang lebih berpengalaman mungkin tidak melakukan penggantian, tetapi tetap lebih baik mengganti garis singgung dengan satu huruf - risiko kebingungan lebih kecil.

Contoh 21

Tentukan integral tak tentu

Ini adalah contoh do-it-yourself.

Tunggu, putaran kejuaraan dimulai =)

Seringkali di integrand ada "gado-gado":

Contoh 22

Tentukan integral tak tentu

Integral ini awalnya berisi garis singgung, yang segera menunjukkan pemikiran yang sudah dikenal:

Saya akan meninggalkan transformasi buatan di awal dan sisa langkah tanpa komentar, karena semuanya telah dikatakan di atas.

Beberapa contoh kreatif untuk solusi independen:

Contoh 23

Tentukan integral tak tentu

Contoh 24

Tentukan integral tak tentu

Ya, di dalamnya, tentu saja, Anda dapat menurunkan derajat sinus, kosinus, menggunakan substitusi trigonometri universal, tetapi solusinya akan jauh lebih efisien dan lebih pendek jika ditarik melalui garis singgung. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran

Integral Kepala Sekolah Yang Harus Diketahui Setiap Siswa

Integral yang terdaftar adalah dasar, dasar dari fondasi. Formula ini, tentu saja, harus diingat. Saat menghitung integral yang lebih kompleks, Anda harus menggunakannya terus-menerus.

Berikan perhatian khusus pada rumus (5), (7), (9), (12), (13), (17) dan (19). Jangan lupa untuk menambahkan konstanta sembarang C ke jawaban saat mengintegrasikan!

Integral dari sebuah konstanta

Integrasi fungsi daya

Sebenarnya, seseorang dapat membatasi diri pada rumus (5) dan (7), tetapi integral lainnya dari grup ini sangat umum sehingga perlu sedikit memperhatikannya.

x d x = x 2 2 + C (2)
x 2 d x = x 3 3 + C (3)
1 x d x = 2 x + C (4)
1 x d x = log | x | +C(5)
1 x 2 d x = 1 x + C (6)
x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n 1) (7)

Integral fungsi eksponensial dan fungsi hiperbolik

Tentu saja, rumus (8) (mungkin yang paling mudah diingat) dapat dianggap sebagai kasus khusus dari rumus (9). Rumus (10) dan (11) untuk integral sinus hiperbolik dan kosinus hiperbolik mudah diturunkan dari rumus (8), tetapi lebih baik mengingat hubungan ini saja.

e x d x = e x + C (8)
a x d x = a x log a + C (a > 0, a 1) (9)
s h x d x = c h x + C (10)
c h x d x = s h x + C (11)

Integral dasar fungsi trigonometri

Kesalahan yang sering dilakukan siswa: mereka mengacaukan tanda pada rumus (12) dan (13). Mengingat turunan sinus sama dengan cosinus, entah kenapa banyak orang yang percaya bahwa integral dari fungsi sinx sama dengan cosx. Ini tidak benar! Integral sinus adalah "minus cosinus", tetapi integral dari cosx adalah "just sinus":

sin x d x = cos x + C (12)
cos x d x = sin x + C (13)
1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
1 sin 2 x d x = c t g x + C (15)

Pengurangan Integral ke Fungsi Trigonometri Terbalik

Rumus (16), yang mengarah ke tangen busur, secara alami merupakan kasus khusus dari rumus (17) untuk a=1. Demikian pula, (18) adalah kasus khusus (19).

1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = a r c c t g x + C (16)
1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a 0) (17)
1 1 x 2 d x = arcsin x + C = arccos x + C (18)
1 a 2 x 2 d x = arcsin x a + C = arccos x a + C (a > 0) (19)

Integral yang lebih kompleks

Rumus-rumus ini juga diinginkan untuk diingat. Mereka juga cukup sering digunakan, dan hasilnya agak membosankan.

1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
1 x 2 a 2 d x = ln | x + x 2 a 2 | +C(21)
a 2 x 2 d x = x 2 a 2 x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
x 2 a 2 d x = x 2 x 2 a 2 a 2 2 ln | x + x 2 a 2 | + C (a > 0) (24)

Aturan integrasi umum

1) Integral jumlah dua fungsi sama dengan jumlah integral yang bersesuaian: (f (x) + g (x)) d x = f (x) d x + g (x) d x (25)

2) Integral selisih dua fungsi sama dengan selisih integral yang bersesuaian: (f (x) g (x)) d x = f (x) d x g (x) d x (26)

3) Konstanta dapat diambil dari tanda integral: C f (x) d x = C f (x) d x (27)

Sangat mudah untuk melihat bahwa properti (26) hanyalah kombinasi dari properti (25) dan (27).

4) Integral fungsi kompleks jika fungsi dalam linier: f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A 0) (28)

Di sini F(x) adalah antiturunan untuk fungsi f(x). Perhatikan bahwa rumus ini hanya berfungsi jika fungsi dalam adalah Ax + B.

Penting: tidak ada rumus universal untuk integral produk dua fungsi, serta untuk integral pecahan:

f (x) g (x) d x = ? f (x) g (x) d x = ? (tigapuluh)

Ini tidak berarti, tentu saja, bahwa pecahan atau produk tidak dapat diintegrasikan. Hanya saja setiap kali Anda melihat integral seperti (30), Anda harus menemukan cara untuk "bertarung" dengannya. Dalam beberapa kasus, integrasi dengan bagian akan membantu Anda, di suatu tempat Anda harus membuat perubahan variabel, dan kadang-kadang bahkan rumus aljabar atau trigonometri "sekolah" dapat membantu.

Contoh sederhana untuk menghitung integral tak tentu

Kami menggunakan rumus (25) dan (26) (integral jumlah atau selisih fungsi sama dengan jumlah atau selisih integral yang bersesuaian. Didapatkan: 3 x 2 d x + 2 sin x d x − 7 e x d x + 12 dx

Ingatlah bahwa konstanta dapat diambil dari tanda integral (rumus (27)). Ekspresi diubah menjadi bentuk

3 x 2 d x + 2 sin x d x 7 e x d x + 12 1 d x

Sekarang mari kita gunakan tabel integral dasar. Kita perlu menerapkan rumus (3), (12), (8) dan (1). Mari kita integrasikan fungsi daya, sinus, eksponen dan konstanta 1. Jangan lupa untuk menambahkan konstanta sembarang C di akhir:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Setelah transformasi dasar, kami mendapatkan jawaban akhir:

X 3 2 cos x 7 e x + 12 x + C

Uji diri Anda dengan diferensiasi: ambil turunan dari fungsi yang dihasilkan dan pastikan bahwa itu sama dengan integran aslinya.

Ringkasan tabel integral

Unduh tabel integral (bagian II) dari tautan ini

Jika Anda belajar di universitas, jika Anda memiliki kesulitan dengan matematika yang lebih tinggi (analisis matematika, aljabar linier, teori probabilitas, statistik), jika Anda memerlukan layanan guru yang memenuhi syarat, buka halaman tutor matematika yang lebih tinggi. Ayo selesaikan masalahmu bersama!

Anda mungkin juga tertarik